Equazioni di secondo grado

Come anche per le equazioni di primo grado, ho dovuto ricreare l'articolo da zero a causa della perdita delle immagini.

Le equazioni di primo grado sono molto intuitive e semplici da risolvere. Ma vediamo ora come dobbiamo comportarci quando la nostra equazione è di secondo grado. La nostra rosa di equazioni di secondo grado prevede cinque casi possibili. Ognuno di essi ha un metodo risolutivo più immediato e pratico. Le equazioni di secondo grado, a differenza di quelle di primo, prevedono due soluzioni.

• Il caso più comune è ax2 + bx + c = 0. Questa prende il nome di equazione di secondo grado completa e per trovare le soluzioni si utilizza la seguente formula:

  

  https://romoletto.altervista.org/radici-equazioni-secondo-grado-simple-apps/

  
  
• Se nella nostra equazione il coefficiente b è pari, possiamo applicare la formula ridotta (nota anche come formula del b mezzi):

http://www.lezionidimatematica.net/Equazioni2/lezioni/eq2_lezione_08.htm

• 
  
  Se la forma della nostra equazione è pura, ossia presenta la forma ax2 + c = 0, come per le equazioni di primo grado isoliamo la x e poi estraiamo la radice quadrata di entrambi i membri, per cui avremo:
  
  

  

  https://www.slideshare.net/miflower67/equazioni-di-secondo-grado-47349947

  
  
• Se la forma della nostra equazione è spuria, ossia presenta la forma ax2 + bx = 0, raccogliamo a fattor comune la x e cerchiamo i valori che annullano il prodotto che otteniamo. Per quali valori x(ax + b) è uguale a 0?

Equazione spuria

• Infine, cosa succede se la nostra equazione è monomia, ossia formata solo dal monomio che presenta il quadrato di x? Nel caso di ax2 = 0, la soluzione è molto semplice. Siccome l’unica variabile è x e siamo in presenza di un coefficiente a diverso da 0, allora gli unici valori che potranno annullare il prodotto saranno uguali e coincideranno con 0. In questo caso, quindi scriveremo:

ax1 = ax2 = 0

Mi rendo conto di quanto stia venendo lungo l’articolo, e ve ne chiedo scusa. L’argomento è un po’ noioso, devo ammettere che nemmeno a me piacciono molto le equazioni di secondo grado. Questa sensazione spiacevole è nata ai tempi del liceo, in cui la professoressa di matematica ci dava da risolvere equazioni di secondo grado con coefficienti stranissimi; poi, una volta arrivata all’università, ho scoperto che non era altro che un modo per spingerci a prendere confidenza con calcoli che in futuro ci sarebbero risultati banali. Dopo un po’ di tempo, queste cose uno inizia a farle quasi automaticamente e non pensa più a tutta la teoria e a tutti gli anni che ha speso per arrivare ad essere così svelto nel calcolo… Comunque, dopo questo piccolo break, ricomponiamoci.

Le soluzioni di una equazione di secondo grado si chiamano anche radici, per cui non andate nel panico se qualcuno dovesse chiedervi “Quali sono le radici di questa equazione?”: fortunatamente il nostro interlocutore non starà parlando di radicali!

Ora vorrei farvi vedere una cosa che abbiamo visto scomponendo i polinomi. Probabilmente avete notato che per semplificare le nostre equazioni nei casi sopra elencati, abbiamo applicato dei raccoglimenti. Ebbene, le regole di scomposizione possono aiutarci anche in questo.

Avendo:

• s = x1 + x2 = – b / a , applicabile solo se Δ ≥ 0;
• p = x1• x2 = c / a , applicabile solo se Δ ≥ 0;

Allora, possiamo scrivere x2 – sx + p = 0, se conosciamo il prodotto e la somma delle soluzioni dell’equazione.

Mentre, con la seguente, possiamo scomporre un trinomio di secondo grado, e x1 e x2 sono le soluzioni dell’equazione.

ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2)

Prima ho utilizzato il simbolo Δ. Il Δ ci serve per discriminare il segno delle radici della nostra equazione.

Δ = b2 – 4ac

• Se è maggiore di 0, abbiamo due soluzioni reali e distinte;
• Se è uguale a 0, abbiamo due soluzioni reali e coincidenti;
• Se è minore di 0, la nostra equazioni non ammette soluzioni reali.

Vi chiedo nuovamente perdono per la lunghezza dell’articolo, però ho cercato di concentrare tutto ciò che nello svolgere un esercizio può esservi utile senza divagare troppo. Mi sarei potuta dilungare su spiegazioni e dimostrazioni teoriche, ma ho volutamente evitato perché sono cose che nello svolgere un esercizio, creano solo una nube di confusione. Ovviamente questo non significa che la teoria della matematica è inutile. 

Equazioni di primo grado

Ciao ragazzi,

oggi sono costretta a riprendere un post molto vecchio, che risale all'anno di creazione del blog. Quando cambiai piattaforma, mi limitai a spostare i post dall'una all'altra senza badare a che fine potessero fare le immagini in alcuni di essi. Ecco, nel post sulle equazioni di primo e secondo grado, dopo qualche mese, mi si sono corrotte le immagini e, non sapendo come sistemare il problema, ho pensato di riscrivere da capo entrambi gli articoli.

Ecco, innanzitutto, le definizioni che ci servono per parlare di equazione di primo grado:

• Si definisce espressione un insieme di numeri e lettere collegati da operazioni da eseguire su di essi. Le lettere che compaiono in un’espressione possono avere due diversi significati: possono essere costanti (generalmente indicate con le prime lettere dell’alfabeto: a,b,c,…), o variabili (ed indicate con le ultime lettere dell’alfabeto: x,y,z).
• Si definisce identità l’uguaglianza tra due espressioni verificata per qualunque valore assegnato alle variabili in esse contenute e per cui le espressioni hanno significato.
• Si definisce equazione una uguaglianza tra due espressioni verificata solo per particolari valori (detti soluzioni) assegnati alle variabili (incognite) in essa contenute.

Un esempio di equazione può essere il seguente:

4x + 2 = 3

Come si 'risolve'?

4x + 2 costituisce il primo membro dell’equazione, mentre 3 è il secondo membro. Ma cosa ci facciamo con questi membri? Lo scopo è trovare quel valore di x che renda i due membri uguali. Quel valore di x è quello che nella definizione abbiamo chiamato soluzione. Quindi, la domanda da porci è: per quale valore di x, 4x + 2 è uguale a 3?

Il metodo di risoluzione è molto semplice. E’ sufficiente isolare la x portando tutti i termini privi della varabile in un membro e lasciando quelli con la variabile nell’altro. Nel nostro caso quindi agiremo così:

4x + 2 = 3

4x = 3 - 2

x = (3-2)/4 = 1/4

Nel risolvere l’equazione, vorrei farvi notare prima di ogni cosa che, quando ho portato il 2 al secondo membro, ho cambiato il suo segno. Questo vale per ogni termine di una equazione: quando si sposta da un membro all’altro un termine di una equazione, va moltiplicato per -1, che all’atto pratico significa semplicemente cambiargli il segno.

Inoltre, ho diviso il secondo membro per 4. In realtà, non ho diviso il secondo membro per 4, ma entrambi i membri (infatti, se ci fate caso, è sparito il coefficiente del termine con la variabile x). Questo è stato l’ultimo passaggio necessario ad esplicitare (ossia a rendere 1) il coefficiente di x.

Il risultato ottenuto non è altro che la soluzione della nostra equazione, infatti sostituendo la soluzione ad x vedremo come sarà verificata l’identità dei due membri.

Per x = 1/4

4*1/4 + 2 = 3

1 + 2 = 3

3 = 3

Ecco. Ho messo la soluzione al posto di x ed effettivamente è successo quello che mi aspettavo: i due membri sono uguali!

Questo è tutto ciò che c’è da dire su una equazione di primo grado. Se vi trovate davanti più termini con x, è sufficiente sommarli algebricamente come abbiamo visto anche per i polinomi che avevano la stessa parte letterale. Mi raccomando, non dimenticate di controllare il grado, altrimenti rischiate di sommare i coefficienti di una parte letterale di primo grado con qualche coefficiente di parti letterali di secondo o terzo, e questo sarebbe un gravissimo errore.

Padri, figli e, a volte, nipoti

Ciao giovani, oggi si conclude il weekend. In particolare, l'ultimo di giugno. Vi chiedo scusa per non aver potuto pubblicare l'intervista del venerdì, ma ho avuto problemi di salute. Non avevo nemmeno la forza per alzarmi dal letto e studiare per il prossimo esame...

Con questo post vorrei portare avanti qualche concetto sul decadimento radioattivo parlandovi di famiglie radioattive ed equilibrio secolare.

Buona lettura!

4. Gli appuntamenti del Venerdì: Federico

Ciao ragazzi. Eccoci con la quarta puntata della rubrica del venerdì. L’iniziativa sta proseguendo grazie al vostro entusiasmo. Oggi, con noi, ci sarà Federico. Anche a lui porremo dieci domande. Sarà lui stesso a parlarvi di sé, e di cosa lo ha avvicinato alle materie scientifiche che, ancora oggi, sono il perno attorno al quale ruota la sua vita!

Ø  Ciao Federico, di cosa ti occupi nella vita?

Ciao, ad oggi mi occupo principalmente di validazione di centraline per il settore automotive e anche di ricerca nel settore dell’Additive Manufacturing.

Ø  Da quanto tempo studi scienze?

Da 7 anni oramai.

Ø  Cosa ti appassiona di loro?

Il poter migliorare la vita propria e degli altri anche in modo radicale.

Ø  Segui notizie di attualità a tema scientifico?

Sì, certo, specie sul mio campo di studio, ovvero la lavorazione per tecniche additive, d’altronde è utile quando faccio review dei lavori di altri essere sempre aggiornato.

Ø  Perché ingegneria meccanica e non, ad esempio, ingegneria civile o elettronica?

Perché è a mio avviso quella più completa e che va a collaborare poi con tutti gli altri ambiti dell’ingegneria. Poi la mia parte prediletta è la produzione, quindi ad occuparsene è sempre un ingegnere meccanico.

Anteprima di quello che si fa durante un corso di disegno di macchine

Ø  Riviste scientifiche? Ce ne consigli qualcuna?

Ovviamente Additive Manufacturing Today e Rapid Prototyping Journal (per cui lavoro alle reviews di paper) per essere sempre aggiornati sul settore AM.

Ø  Hai progetti in programma o in corso?

Al momento non sto portando avanti alcun progetto, ma sto iniziando a pensare alcuni prodotti che proverò a proporre in azienda da me.

Ø  Cosa ti ha spinto ad accettare questa intervista e a renderti disponibile a risponderci pubblicamente?

Per il legame particolare che ho con Veronica e per far conoscere un po’ il mio mondo.

Ø  Sappiamo che hai una certa passione per la storia! Palacene un po’!

Beh, sì, sin da piccolo ho sempre adorato la storia dal 1700 in poi e ora che vivo nel Nord Italia mi dedico praticamente full time nei Week End alla rievocazione storica di epoca Napoleonica, Prima e Seconda Guerra Mondiale.

Prima Guerra Mondiale

Ø  Ultima domanda: hai consigli su come migliorare i contenuti di Spiccioli di Scienza? Ti piacerebbe pubblicare con noi qualcosa qualche volta?

Sinceramente sì, mi piacerebbe pubblicare qualcosa con Spiccioli di Scienza, spero ne avremo occasione a breve.

Federico è un ragazzo molto sveglio e nasconde davvero un gran potenziale. Siamo felici di poter ospitare qualche sua parola qui su Spiccioli di Scienza, sperando non siano le ultime che spenderà con noi e per noi! Grazie, Federico!

2. Gli appuntamenti del Venerdì: Domenico

Un altro venerdì sera accompagnato dalle parole di un nostro lettore: Domenico! Anche a lui porremo dieci domande, fatte su misura per lui in relazione agli eventi che stanno accadendo nel mondo in questo periodo!

1.  Ciao, Domenico! Parlaci di te!

Ciao! È difficile "parlarvi di me" e temo sarebbe noioso leggere ciò che ne risulterebbe, ma a farla breve sono un ragazzo di quasi 29 anni e sto per prendere la laurea magistrale in Scienze Politiche, dopodiché non ho idea di dove mi porterà la vita, e per fare cosa!

2.  Di cosa ti occupi nella vita? Hai a che fare spesso con qualcosa che sia definibile scientifico?

Curiosamente, ho frequentato il liceo scientifico sperimentale (con Fisica già fin dal primo anno) e andavo abbastanza bene in matematica e fisica, ma una volta terminato il liceo non ho avuto più a che fare con queste materie perciò ormai sono 10 anni che non le tocco e non ricorderei nulla se mi capitasse adesso!

3.  Hai mai messo piede in un laboratorio di chimica o di sismologia o di qualsiasi altra cosa?

Mai!

4.  Ti piace guardare serie tv? Conosci The Big Bang Theory?

Guardo moltissime serie tv e considero The Big Bang Theory una delle migliori in assoluto, ma dopo le prime 5/6 stagioni l'ho seguita con sempre meno attenzione fino ad abbandonarla del tutto.

5.  "Il 73 è il 21° dei numeri primi. Il suo speculare, il 37, è il 12°, e il suo speculare, il 21, è il prodotto - e qui vi consiglio di reggervi forte - di 7 per 3" Questo è quello che ha affermato Sheldon Cooper, uno dei protagonisti della serie. Che effetto ti fa leggere questa affermazione?

Mi hanno sempre affascinato i numeri infinitamente grandi e infinitamente piccoli, e come l'uomo sia "nel mezzo", ma è più una riflessione filosofica. Gli incastri particolari fra cifre non mi interessano particolarmente. 

Sheldon Cooper, personaggio di The Big Bang Theory

6.  Da questa faccenda è uscito fuori il numero primo di Sheldon; sai qualcosa a riguardo?

Nulla, lo ammetto.

7.  Ti senti motivato a capirci qualcosa di più dopo queste domande?

   

Sì, giusto per avere un'idea di cosa si stia parlando!

8.  L’articolo che è stato scritto su questa storia è comparso in un episodio della serie andato in onda quest’anno nel mese di aprile: andrai a cercarlo?

     Sì, giusto per avere un'idea di cosa si stia parlando!

9.  La smettiamo di torturarti con numeri primi e serie tv! Ti è piaciuto rispondere a queste domande? Lo rifaresti in futuro?

Sì, mi è piaciuto e spero che chi leggerà le mie risposte non si annoi troppo!

10. Ti va di condividere con i nostri lettori un tuo progetto, una tua pagina o quello che ti pare, anche non pertinente con la materia trattata in questo blog? E collaborare con noi qualche volta? Lasciaci un saluto!

Sto preparando la tesi riguardo il disinteresse crescente verso la politica, a questo proposito ci sentiamo tra un paio di mesi, sarà il mio turno di porre qualche domanda ai lettori, se avranno tempo e voglia di rispondere!

“They were threatened by my intelligence and too stupid to know that’s why they hated me.”

(Sheldon Cooper)

 

The Big Bang Theory è una serie televisiva esilarante che ha debuttato nel 2007 ed è ancora in esecuzione. Ha vinto diversi premi dal suo inizio. Jim Parsons, che interpreta il testardo e incredibilmente intelligente Sheldon Cooper, ha anche vinto numerosi premi nel corso degli anni.

Sheldon Cooper, personaggio di The Big Bang Theory

Il personaggio Sheldon Cooper è noto per i suoi commenti off-the-wall e citazioni esilaranti.

 

A venerdì con il prossimo episodio della rubrica del venerdì!

Porosità per tutti

Un lettore del blog mi ha segnalato alcune difficoltà che ha riscontrato nel leggere l'articolo sulla porosità. Purtroppo devo ammettere che ho usato dei termini un po' tecnici che chiaramente destabilizzano chi, come lui, non è avvezzo a materie scientifiche. Per questo mi sono posta l'obiettivo di scrivere un articolo sulla porosità, simile al precedente, ma dando spazio più alla divulgazione che alla scienza. Cercherò, con termini semplici, di spiegare quello che volevo dire prima utilizzando formule, immagini e parole difficili! Buona lettura!

Ogni oggetto, anche quello che appare più compatto, è in realtà poroso. Proprio come una spugna, una parte del suo volume è occupato da piccole cavità. Queste sono dovute o a gas intrappolato, o a fessure dovute a ritiro (come l'argilla che, esposta al sole o cotta, a volte si crepa), o a spazi intergranulari, ossia spazi dovuti alla disposizione puramente geometrica delle particelle che compongono il dato oggetto. Queste cavità costituiscono quello che si chiama volume dei vuoti e in gergo viene abbreviato con Vv. Rapportandolo al volume totale (V) occupato dall'oggetto in studio, otteniamo un numerino che si chiama porosità.

La porosità totale è la somma della porosità aperta e quella chiusa. Cosa vuol dire? Esistono due definizioni che danno un senso a questa semplice addizione. Quando parliamo di porosità in generale, intendiamo tutto lo spazio vuoto presente in un oggetto. La porosità aperta, invece, tiene conto solo dei pori in comunicazione tra loro, cioè indica quella parte di "buchi" che possono contenere fluidi, tipo acqua, che siano in grado di muoversi sotto l'effetto della forza di gravità all'interno dei fori stessi (un po' come se fossero delle gallerie che vanno sempre verso il basso), mentre la porosità chiusa possiamo immaginarla come una bolla all'interno dell'oggetto che non comunica con nessun poro.

La porosità ha dei nomi diversi anche in base alla sua origine: può essere, quindi, primaria o secondaria, a seconda che i vuoti presenti si siano originati contemporaneamente all'oggetto che li contiene (i forellini di una spugna), oppure successivamente (le crepe di un'argilla che viene cotta) a causa di fessurazioni, fratturazioni, processi chimici, processi meccanici, escursioni termiche.

Infine, esiste anche la porosità interparticellare, che si ha tra le particelle dell'oggetto e quella intraparticellare, esistente all’interno dei corpi delle particelle.

Secondo la suddivisione IUPAC, i pori si classificano in base alle loro dimensioni in:

- macropori: più grandi di 50 nm;

- mesopori: di ampiezza compresa tra 2 e 50 nm;

- micropori: più piccoli di 2 nm.

Questo è quanto. Non mi dilungo sulle tecniche per calcolare la porosità perché entrerei nello specifico caso di rocce e suoli, e questo sarebbe poco comprensibile per chi non usa spesso formule,  strumenti di misura, tecniche analitiche e laboratori, ma sono sempre aperta ad aggiungere qualcosa se richiesto. Spero di essere stata meno criptica per chi si avvicina per la prima volta a questo mondo.

Buona serata!