Equazioni di secondo grado

Come anche per le equazioni di primo grado, ho dovuto ricreare l'articolo da zero a causa della perdita delle immagini.

Le equazioni di primo grado sono molto intuitive e semplici da risolvere. Ma vediamo ora come dobbiamo comportarci quando la nostra equazione è di secondo grado. La nostra rosa di equazioni di secondo grado prevede cinque casi possibili. Ognuno di essi ha un metodo risolutivo più immediato e pratico. Le equazioni di secondo grado, a differenza di quelle di primo, prevedono due soluzioni.

• Il caso più comune è ax2 + bx + c = 0. Questa prende il nome di equazione di secondo grado completa e per trovare le soluzioni si utilizza la seguente formula:

  

  https://romoletto.altervista.org/radici-equazioni-secondo-grado-simple-apps/

  
  
• Se nella nostra equazione il coefficiente b è pari, possiamo applicare la formula ridotta (nota anche come formula del b mezzi):

http://www.lezionidimatematica.net/Equazioni2/lezioni/eq2_lezione_08.htm

• 
  
  Se la forma della nostra equazione è pura, ossia presenta la forma ax2 + c = 0, come per le equazioni di primo grado isoliamo la x e poi estraiamo la radice quadrata di entrambi i membri, per cui avremo:
  
  

  

  https://www.slideshare.net/miflower67/equazioni-di-secondo-grado-47349947

  
  
• Se la forma della nostra equazione è spuria, ossia presenta la forma ax2 + bx = 0, raccogliamo a fattor comune la x e cerchiamo i valori che annullano il prodotto che otteniamo. Per quali valori x(ax + b) è uguale a 0?

Equazione spuria

• Infine, cosa succede se la nostra equazione è monomia, ossia formata solo dal monomio che presenta il quadrato di x? Nel caso di ax2 = 0, la soluzione è molto semplice. Siccome l’unica variabile è x e siamo in presenza di un coefficiente a diverso da 0, allora gli unici valori che potranno annullare il prodotto saranno uguali e coincideranno con 0. In questo caso, quindi scriveremo:

ax1 = ax2 = 0

Mi rendo conto di quanto stia venendo lungo l’articolo, e ve ne chiedo scusa. L’argomento è un po’ noioso, devo ammettere che nemmeno a me piacciono molto le equazioni di secondo grado. Questa sensazione spiacevole è nata ai tempi del liceo, in cui la professoressa di matematica ci dava da risolvere equazioni di secondo grado con coefficienti stranissimi; poi, una volta arrivata all’università, ho scoperto che non era altro che un modo per spingerci a prendere confidenza con calcoli che in futuro ci sarebbero risultati banali. Dopo un po’ di tempo, queste cose uno inizia a farle quasi automaticamente e non pensa più a tutta la teoria e a tutti gli anni che ha speso per arrivare ad essere così svelto nel calcolo… Comunque, dopo questo piccolo break, ricomponiamoci.

Le soluzioni di una equazione di secondo grado si chiamano anche radici, per cui non andate nel panico se qualcuno dovesse chiedervi “Quali sono le radici di questa equazione?”: fortunatamente il nostro interlocutore non starà parlando di radicali!

Ora vorrei farvi vedere una cosa che abbiamo visto scomponendo i polinomi. Probabilmente avete notato che per semplificare le nostre equazioni nei casi sopra elencati, abbiamo applicato dei raccoglimenti. Ebbene, le regole di scomposizione possono aiutarci anche in questo.

Avendo:

• s = x1 + x2 = – b / a , applicabile solo se Δ ≥ 0;
• p = x1• x2 = c / a , applicabile solo se Δ ≥ 0;

Allora, possiamo scrivere x2 – sx + p = 0, se conosciamo il prodotto e la somma delle soluzioni dell’equazione.

Mentre, con la seguente, possiamo scomporre un trinomio di secondo grado, e x1 e x2 sono le soluzioni dell’equazione.

ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2)

Prima ho utilizzato il simbolo Δ. Il Δ ci serve per discriminare il segno delle radici della nostra equazione.

Δ = b2 – 4ac

• Se è maggiore di 0, abbiamo due soluzioni reali e distinte;
• Se è uguale a 0, abbiamo due soluzioni reali e coincidenti;
• Se è minore di 0, la nostra equazioni non ammette soluzioni reali.

Vi chiedo nuovamente perdono per la lunghezza dell’articolo, però ho cercato di concentrare tutto ciò che nello svolgere un esercizio può esservi utile senza divagare troppo. Mi sarei potuta dilungare su spiegazioni e dimostrazioni teoriche, ma ho volutamente evitato perché sono cose che nello svolgere un esercizio, creano solo una nube di confusione. Ovviamente questo non significa che la teoria della matematica è inutile. 

Equazioni di primo grado

Ciao ragazzi,

oggi sono costretta a riprendere un post molto vecchio, che risale all'anno di creazione del blog. Quando cambiai piattaforma, mi limitai a spostare i post dall'una all'altra senza badare a che fine potessero fare le immagini in alcuni di essi. Ecco, nel post sulle equazioni di primo e secondo grado, dopo qualche mese, mi si sono corrotte le immagini e, non sapendo come sistemare il problema, ho pensato di riscrivere da capo entrambi gli articoli.

Ecco, innanzitutto, le definizioni che ci servono per parlare di equazione di primo grado:

• Si definisce espressione un insieme di numeri e lettere collegati da operazioni da eseguire su di essi. Le lettere che compaiono in un’espressione possono avere due diversi significati: possono essere costanti (generalmente indicate con le prime lettere dell’alfabeto: a,b,c,…), o variabili (ed indicate con le ultime lettere dell’alfabeto: x,y,z).
• Si definisce identità l’uguaglianza tra due espressioni verificata per qualunque valore assegnato alle variabili in esse contenute e per cui le espressioni hanno significato.
• Si definisce equazione una uguaglianza tra due espressioni verificata solo per particolari valori (detti soluzioni) assegnati alle variabili (incognite) in essa contenute.

Un esempio di equazione può essere il seguente:

4x + 2 = 3

Come si 'risolve'?

4x + 2 costituisce il primo membro dell’equazione, mentre 3 è il secondo membro. Ma cosa ci facciamo con questi membri? Lo scopo è trovare quel valore di x che renda i due membri uguali. Quel valore di x è quello che nella definizione abbiamo chiamato soluzione. Quindi, la domanda da porci è: per quale valore di x, 4x + 2 è uguale a 3?

Il metodo di risoluzione è molto semplice. E’ sufficiente isolare la x portando tutti i termini privi della varabile in un membro e lasciando quelli con la variabile nell’altro. Nel nostro caso quindi agiremo così:

4x + 2 = 3

4x = 3 - 2

x = (3-2)/4 = 1/4

Nel risolvere l’equazione, vorrei farvi notare prima di ogni cosa che, quando ho portato il 2 al secondo membro, ho cambiato il suo segno. Questo vale per ogni termine di una equazione: quando si sposta da un membro all’altro un termine di una equazione, va moltiplicato per -1, che all’atto pratico significa semplicemente cambiargli il segno.

Inoltre, ho diviso il secondo membro per 4. In realtà, non ho diviso il secondo membro per 4, ma entrambi i membri (infatti, se ci fate caso, è sparito il coefficiente del termine con la variabile x). Questo è stato l’ultimo passaggio necessario ad esplicitare (ossia a rendere 1) il coefficiente di x.

Il risultato ottenuto non è altro che la soluzione della nostra equazione, infatti sostituendo la soluzione ad x vedremo come sarà verificata l’identità dei due membri.

Per x = 1/4

4*1/4 + 2 = 3

1 + 2 = 3

3 = 3

Ecco. Ho messo la soluzione al posto di x ed effettivamente è successo quello che mi aspettavo: i due membri sono uguali!

Questo è tutto ciò che c’è da dire su una equazione di primo grado. Se vi trovate davanti più termini con x, è sufficiente sommarli algebricamente come abbiamo visto anche per i polinomi che avevano la stessa parte letterale. Mi raccomando, non dimenticate di controllare il grado, altrimenti rischiate di sommare i coefficienti di una parte letterale di primo grado con qualche coefficiente di parti letterali di secondo o terzo, e questo sarebbe un gravissimo errore.

Che succede nel sottosuolo?

Cari lettori, so che è da tanto che non scrivo qualcosa tra le pagine del blog. Vi chiedo immensamente scusa per questa mancanza, ma anche io, come voi, sono soggetta a problemi indotti dalla vita di tutti i giorni. "E a me che me ne frega?", vi starete chiedendo. Dubbio lecito, quindi, facciamo finta che queste prime righe non esistano e andiamo al sodo.

Sto studiando per un esame di vulcanologia che dovrò fare tra un paio di settimane. Dato che questo blog si pone come obiettivo la divulgazione scientifica e poi ché mi aiuta a fissare bene i concetti in mente, ho pensato che poteva essere una cosa carina scriverli per condividerli a voi.

Alfred Wegener nel 1912 tira su una teoria sulla tettonica delle placche, riportando alla luce gli avvenimenti di 200 Ma anni fa. A quei tempi, infatti, nel nostro globo vi era un unico continente enorme che prendeva il nome di Pangea. Iniziò, però, a fratturarsi creando continenti più piccoli che si allontanavano l'uno dall'altro.

Illustrazione di Jerome N. Cookson, Ngm. Fonte: Ron Blakey, Colorado Plateau Geosystems

A sostegno della sua tesi, il signor Alfred Wegener sosteneva che:

• ci fosse corrispondenza tra il bordo occidentale dell'Africa e quello orientale del Sud America e tra le età delle rispettive rocce;
• ci fosse presenza di fossili simili sulle coste del Sud America e dell'Africa e anche in aree diverse;
• le catene montuose più antiche fossero distribuite in modo continuo.

Nonostante questi punti che sembravano avere basi solide, la sua teoria fu rifiutata perché non dava spiegazioni sulle forze che muovevano i continenti.

Nel 1954 - 55 un altro signore (Benioff) si rese conto che nelle zone sottostanti alcune aree vulcaniche attive gli ipocentri dei terremoti si allineavano lungo un piano inclinato rispetto l'orizzontale.

Piano di Benioff

Nel 1938 venne scoperta la dorsale medio atlantica, una lunga catena montuosa sottomarina tra il continente africano e quello americano.

Infine, nel 1963 Vine e Mattews si resero conto che allontanandosi dalla dorsale oceanica, si rinvenivano fasce simmetriche con la stessa polarizzazione. Questo dipendeva dal campo magnetico terrestre che si invertiva (e lo fa ancora oggi) periodicamente. In poche parole, il polo nord magnetico a volte coincide con il polo nord geografico, ma altre con il polo sud.

Le rocce basaltiche si magnetizzano a seconda del campo magnetico presente al momento del raffreddamento del magma, per cui registrano le variazioni di polarità magnetica.

Basalto colonnare

Allora nacque quella che viene definita teoria dell'espansione dei fondi oceanici: nuovo magma fuoriesce dalle dorsali oceaniche e, raffreddandosi, forma nuova crosta oceanica.

La litosfera rigida, invece, è suddivisa in placche in moto relativo tra loro. Si poggiano su una roba parzialmente fusa e dalle proprietà plastiche che si chiama astenosfera. Da lì si elevano i moti convettivi che muovono le placche. Tuttavia, se nuova crosta viene prodotta nelle dorsali oceaniche, altrettanta deve venirne consumata da qualche parte. Il posto in cui si ha la distruzione della vecchia crosta sono le fosse di subduzione.

Le placche sono separate tra loro da margini di diversa natura:

• Margini divergenti o passivi: La crosta si distende e le zolle si allontanano l'una dall'altra. Si ha in questo modo l'inarcamento e la frammentazione di un continente (come nel caso del rift africano), l'ingresso delle acque continentali nelle depressioni che così si formano e la loro conseguente evaporazione, l'ingresso di acque marine e la formazione di un oceano. Altri margini passivi sono le dorsali oceaniche, caratterizzate da un magmatismo effusivo che forma basalti tholeitici e lave a pillow;
• Margini trasformi: Le faglie trasformi sono trasversali alla dorsale. Tra i due rami della dorsale dislocati le placche si muovono in senso opposto. L'attività vulcanica in questo caso è bassa, ma la sismicità è elevata.
• Margini convergenti o attivi: Sono quelli in corrispondenza di due placche che si muovono l'una verso l'altra finché una delle due non sale sull'altra.

A chiusura dell'articolo, vorrei ricordare anche che esiste un fenomeno che si chiama magmatismo intraplacca e che quindi non avviene lungo i margini. La formazione dei vulcani distribuiti all'interno delle placche può essere spiegata come la risalita di plume di un magma da grandissime profondità (come avviene, ad esempio, alle Hawaii).

Spero di non avervi annoiato eccessivamente con queste nozioni storico-geologiche.